2018-2019學(xué)年廣西防城港市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）
1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ �。�
A．x?2=0 B．x2?4x?1=0 C．x3?2x?3=0 D．xy+1=0
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ �。�
A．明天太陽從東方升起
B．打開電視機(jī)，正在播放體育新聞
C．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心
D．經(jīng)過有交通信號燈的路燈，遇到紅燈
4．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，則∠AOB的度數(shù)為（ �。�
A．35° B．55° C．145° D．70°
5．（3分）拋物線y=2（x?1）2+3的對稱軸為（ �。�
A．直線x=1 B．直線y=1 C．直線y=?1 D．直線x=?1
6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2）關(guān)于原點(diǎn) 對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（?1，?2） B．（?1，2） C．（1，?2） D．（2，1）
7．（3分）下列說法正確的是（ �。�
A．三點(diǎn)確定一個圓
B．三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等
C．相等的圓心角所對的弧相等
D．圓內(nèi)接四邊形的對角互余
8．（3分）已知袋中有若干個球，其中只有2個紅球，它們除顏色外其它都相同．若隨機(jī)從中摸出一個，摸到紅球的概率是 ，則袋中球的總個數(shù)是（ �。�
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長為8，則圓心O到AB的距離為（ �。�
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）關(guān)于x的方程x2?2x+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ �。�
A．m≥1 B．m＜1 C．m=1 D．m＜?1
11．（3分）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA=5，則△PCD的周長為（ �。�
A．5 B．7 C．8 D．10
12．（3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出下列四個結(jié)論：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=?1，x2=3；③b=2a；④函數(shù)的最大值是c?a．其中正確的是（ �。�
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空題（本大題共6小題，每小題3 分，共18分）
13．（3分）拋物線y=x2+5x?1的開口方向是 �。�
14．（3分）擲一個質(zhì)地均勻的正方體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是 �。�
15．（3分）將拋物線y=?x2向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是 �。�
16．（3分）如圖，把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)44°，得到Rt△AB′C′，點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，連接BB′，則∠B′BC′= �。�
17．（3分）某工程一月份的產(chǎn)值為600萬元，三月份的產(chǎn)值達(dá)到了726萬元，設(shè)每月產(chǎn)值的增長率x相同，則可列出方程為 �。�
18．（3分）如圖，點(diǎn)A在以BC為直徑的⊙O內(nèi)，且AB=AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC圍成一個圓錐（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2 ，則這個圓錐底面圓的半徑是 �。甗來源:學(xué)*科*網(wǎng)]
三、解答題（本大題共8小題，滿分66分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19．（6分）解關(guān)于x的方程：x2?4x=0．
20．（6分）如圖，在⊙O中，弦AB與DC相交于E，且BE=DE，求證： = ．
21．（8分）已知2是關(guān)于x的方程x2?2mx+3m=0的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周長．
22．（8分）如圖，在方格紙上，每個小方格都是邊長為1cm的正方形，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′、C′）．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C′；
（2）求點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線的長．（結(jié)果保留π）
23．（8分）如圖，均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有1，2，3，4四個數(shù)字，小明做了60次投擲試驗(yàn)，結(jié)果統(tǒng)計如下：
朝下數(shù)字 1 2 3 4
出現(xiàn)的次數(shù) 16 20 14 10
（1）求上述試驗(yàn)中“2朝下”的頻率；
（2）隨機(jī)投擲正四面體兩次，請用列表或畫樹狀圖法，求兩次朝下的數(shù)字之和 大于5的概率．
24．（10分）某商品的進(jìn)貨價為每件30元，為了合理定價，先投放市場試銷．據(jù)市場調(diào)查，銷售價為每件40元時，每周的銷售量是180件，而銷售價每上漲1元，則每周的銷售量就會減少5件，設(shè)每件商品的銷售價上漲x元，每周的銷售利潤為y元．
（1）用含x的代數(shù)式表示：每件商品的銷售價為 元，每件商品的利潤為 元，每周的商品銷售量為 件；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）應(yīng)怎樣確定銷售價，使該商品的每周銷售利潤最大？最大利潤是多少？
25．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)D，AE⊥DC，垂足為E，F(xiàn)是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．
26．（10分）如圖，直線y=x+3 與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)， 拋物線y=?x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，且交x軸的正半軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
2018-2019學(xué)年廣西防城港市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）
1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意．
故選：D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ �。�
A．x?2=0 B．x2?4x?1=0 C．x3?2x?3=0 D．xy+1=0
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此選項錯誤；
B、是一元二次方程，故此選項正確；
C、不是一元二次方程，故此選項錯誤；
D、不是一元二次方程，故此選項錯誤；
故選：B．
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ �。�
A．明天太陽從東方升起
B．打開電視機(jī)，正在播放體育新聞
C．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心
D．經(jīng)過有交通信號燈的路燈，遇到紅燈
【解答】解：A、明天太陽從東方升起是必然事件，故A符合題意；
B、打開電視機(jī)，正在播放體育新聞是隨機(jī)事件，故B不符合題意；
C、射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，故C不符合題意；
D、經(jīng)過有交通信號燈的路燈，遇到紅燈是隨機(jī)事件，故D不符合題意；
故選：A．
4．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，則∠AOB的度數(shù)為（ �。�
A．35° B．55° C．145° D．70°[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
【解答】解：∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故選：D．
5．（3分）拋物 線y=2（x?1）2+3的對稱軸為（ ）
A．直線x=1 B．直線y=1 C．直線y=?1 D．直線x=?1
【解答】解：∵y=2（x?1）2+3，
∴該拋物線的對稱軸是直線x=1，
故選：A．
6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ �。�
A．（?1，?2） B．（?1，2） C．（1，?2） D．（2，1）
【解答】解：∵P（1，2），
∴點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（?1，?2），
故選：A．
7．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．三點(diǎn)確定一個圓
B．三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等
C．相等的圓心角所對的弧相等
D．圓內(nèi)接四邊形的對角互余
【解答】解：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，A錯誤；
三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，B正確；
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，C錯誤；
圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，D錯誤；
故選：B．
8．（3分）已知袋中有若干個球，其中只有2個紅球，它們除顏色外其它都相同．若隨機(jī)從中摸出一個，摸到紅球的概率是 ，則袋中球的總個數(shù)是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：袋中球的總個數(shù)是：2÷ =8（個）．
故選：D．
9．（3分）在⊙O中 ，已知半徑為5，弦AB的長為8，則圓心O到AB的距離為（ �。�
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：作OC⊥AB于C，連結(jié)OA，如圖，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC= AB= ×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC= ，
即圓心O到AB的距離為3．
故選：A．
10．（3分）關(guān)于x的方程x2?2x+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．m≥1 B．m＜1 C．m=1 D．m＜?1
【解答】解：
∵關(guān)于x的方程x2?2x+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，即（?2）2?4m=0，解得m=1，
故選：C．
11．（3分）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD 切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA=5，則△PCD的周長為（ �。�
A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：∵PA、PB為圓的兩條相交切線，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周長=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周長=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周長=10，
故選：D．
12．（3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出下列四個結(jié)論：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=?1，x2=3；③b=2a；④函數(shù)的最大值是c?a．其中正確的是（ �。�
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：∵圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，兩根是x1=?1，x2=3，故②正確；
∵函數(shù)圖象開口向下，故a＜0，有? ＞0，則b＞0，故①正確；
對稱軸為x=1=? ，則2a+b=0，故③錯誤；
又∵當(dāng)x=1時，y=a+b+c=a?2a+c=c?a，故④正確；
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）拋物線y=x2+5x?1的開口方向是 向上�。�
【解答】解：
在y=x2+5x?1中，
∵a=1＞0，
∴拋物線開口向上，
故答案為：向上．
14．（3分）擲一個質(zhì)地均勻的正方體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是 �。�
【解答】解：根據(jù)題意知，擲一次骰子6個可能結(jié)果，而奇數(shù)有3個，
所以擲到上面為奇數(shù)的概率為： ．
故答案為： ．
15．（3分）將拋物線y=?x2向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是 y=?x2?4x?4�。�
【解答】解：由“左加右減”的原則可知，拋物線y=?x2向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是y=?（x+2）2，即y=?x2?4x?4．
故答案為：y=?x2?4x?4．
16．（3分）如圖，把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)44°，得到Rt△AB′C′，點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，連接BB′，則∠B′BC′= 68° ．
【解答】解：∵把△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)44°，得到△AB′C′，點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，
∴∠BAB′=44°，AB=AB′．
∴∠AB′B=∠ABB′．
∴∠B′BC′= （180°?44°）=68°．
故答案為：68°．[來源:Z|xx|k.Com]
17．（3分）某工程一月份的產(chǎn)值為600萬元，三月份的產(chǎn)值達(dá)到了726萬元，設(shè)每月產(chǎn)值的增長率x相同，則可列出方程為 600（1+x）2=726 ．
【解答】解：設(shè)平均每月增長率是x，由題意得：600（1+x）2=726，
故答案為600（1+x）2=726．
18．（3分）如圖，點(diǎn)A在以BC為直徑的⊙O內(nèi)，且AB=AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC圍成一個圓錐（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2 ，則這個圓錐底面圓的半徑是 ．
【解答】解：如圖，連接AO，∠BAC=120°，
∵BC=2 ，∠OAC=60°，
∴OC= ，
∴AC=2，
設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr= = π，
解得：r= ，
故答案是： ．
三、解答題（本大題共8小題，滿分66分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19．（6分）解關(guān)于x的方程：x2?4x=0．
【解 答】解：x2?4x=0，
x（x?4）=0，
則x=0，x?4=0，
解得x1=0，x2=4．
20．（6分）如圖，在⊙O中，弦AB與DC相交于E，且BE=DE，求證： = ．
【解答】證明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（AAS）．
∴AD=BC，
∴ = ．
21．（8分）已知2是關(guān)于x的方程x2?2mx+3m=0的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周長．
【解答】解：（1）把x=2代入方程得4?4m+3m=0，解得m=4；
（2）當(dāng)m=4時，原方程變?yōu)閤2?8x+12=0，解得x1=2，x2=6，
∵該方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長，且不存在三邊為2，2，6的等腰三角形
∴△ABC的腰為6，底邊為2，
∴△ABC的周長為6+6+2=14．
22．（8分）如圖，在方格紙上，每個小方格都是邊長為1cm的正方形，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′ 、B′、C′）．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C′；
（2）求點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線的長．（結(jié)果保留π）
【解答】解：（1）△A′B′C′如圖所示：
（2）由勾股定理得：OA= =2 ，
∴點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線的長為 = π．
23．（8分）如圖，均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有1，2，3，4四個數(shù)字，小明做了60次投擲試驗(yàn)，結(jié)果統(tǒng)計如下：
朝下數(shù)字 1 2 3 4
出現(xiàn)的次數(shù) 16 20 14 10
（1）求上述試驗(yàn)中“2朝下”的頻率；
（2）隨機(jī)投擲正四面體兩次，請用列表或畫樹狀圖法，求兩次朝下的數(shù)字之和大于5的概率．
【解答】解：（1）“2朝下”的頻率： = ，
（2）根據(jù)題意列表如下：
第一次
第二次 1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
總共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而兩次朝下數(shù)字之和大于5的結(jié)果有6種．
則P（兩次朝下的數(shù)字之和大于5）= = ．
24．（10分）某商品的進(jìn)貨價為每件30元，為了合理定價，先投放市場試銷．據(jù)市場調(diào)查，銷售價為每件40元時，每周的銷售量是180件，而銷售價每上漲1元，則每周的銷售量就會減少5件，設(shè)每件商品的銷售價上漲x元，每周的銷售利潤為y元．
（1）用含x的代數(shù)式表示：每件商品的銷售價為 x+40 元，每件商品的利潤為 x+10 元，每周的商品銷售量為 180?5x 件；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）應(yīng)怎樣確定銷售價，使該商品的每周銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【解答】解：（1）每件商品的銷售價為：（x+40）元，每件商品的利潤為：（x+10）元，
每周的商品銷售量為：（180?5x）件；
故答案為：x+40，x+10，180?5x；
（2）所求函數(shù)關(guān)系式為：y=（x+10）（18?5x）
即y=?5x2+130x+1800；
（3）∵在y=?5x2+130x+1800中，
a=?5＜0，b=130，x=1800，
∴當(dāng)x=? =? =13時，x+40=13+40=53，[來源:Zxxk.Com]
y有最大值且最大值為： =1800? =2645（元），
∴當(dāng)售價為53元時，可獲得最大利潤2645元．
25．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)D，AE⊥DC，垂足為E，F(xiàn)是AE與⊙O的交點(diǎn)，AC平分∠BAE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵點(diǎn)C在圓O上，OC為圓O的半徑，
∴CD是圓O的切線；
（2）
∵在Rt△AED中，∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt△AED中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，
∴CD= ，
∴S△OCD= ，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S扇形OBC= ×π×OC2= ，
∵S陰影=S△COD?S扇形OBC
∴S陰影=8 ? ，
∴陰影部分的面積為8 ? ．
26．（10分）如圖，直線y=x+3與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=?x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，且交x軸的正半軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【解答】解： （1）當(dāng)x=0時，y=3，
∴B（0，3），
當(dāng)y=0時，x+3=0，x=?3，
∴A（?3，0）；…（2分）
（2）把A（?3，0），B（0，3）分別代入y=?x2+bx+c得：
，解得： ，
∴拋物線解析式為：y=?x2?2x+3； …（5分）
頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（?1，4）…（6分）
（3） 存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，?t2?2t+3）．
∵A（?3，0），B（0，3），
∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（?t2?2t+3）2，BP2=t2+（?t2?2t）2．…（8分）[來源:學(xué)科網(wǎng)]
當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況：
①如圖1，如果點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，那么AB2+BP2=AP2
（事實(shí)這里的點(diǎn)P與點(diǎn)D 重合）
即18+t2+（?t2?2t）2=（t+3）2+（?t2?2t+3）2，
整理 得t2+t=0，解得t1=?1，t2=0（不合題意舍去），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?1，4）； …（9分）
②如圖2，如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，那么AP2+AB2=BP2，
即18+（t+3）2+（?t2?2t+3）2=t2+（?t2?2t）2，
整理得t2+t?6=0，解得t1=2，t2=?3（不合題意舍去），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，?5）；
綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?1，4）或（2，?5）．…（10分）
另解：如圖3，作DE⊥y軸于點(diǎn)E，發(fā)現(xiàn)∠ABO=∠DBE=45°
可知頂點(diǎn)D滿足△DAB是直角三角形，這時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?1，4）；
作PA⊥AB交拋物線于點(diǎn)P，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，發(fā)現(xiàn)∠PAF=∠APF=45°，
由PF=AF求出另一點(diǎn)P為（2，?5）．
說明：不同解法，請參照評分說明給分．
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